设f(x)是一个次数不大于n-1的一元多项式,如果存在n个互不相同的数a1,a2,…,an使f(ai)=0,i=1,2,…,n.试证f(x)=0注：这道题是在我们大一的线性代数课本上找到的,在克莱姆法则的习题中

Question

设f(x)是一个次数不大于n-1的一元多项式,如果存在n个互不相同的数a1,a2,…,an使f(ai)=0,i=1,2,…,n.试证f(x)=0
注：这道题是在我们大一的线性代数课本上找到的,在克莱姆法则的习题中

Answer 1

问题：设f(x)是一个次数不大于n-1的一元多项式,如果存在n个互不相同的数a1,a2,…,an使f(ai)=0,i=1,2,…,n,试证f(x)=0.
证明：
设f(x)=c0+c1x+.+cnx^(n-1)
把f(ai)=0带进去
得方程组
c0+c1a1+.cna1^(n-1)=0
c0+c1a2+.cna2^(n-1)=0
.
c0+c1an+.cnan^(n-1)=0
即c0,c1,.,cn是AX=0这个方程组的解
系数行列式A=
|1 a1. a1^(n-1)|
|1 a2. a2^(n-1)|
|.|
|1 an. an^(n-1)|
这是范德蒙行列式,因为a1,a2.an互不相同,
所以|A|肯定不为0,
由克拉默法则得知我们AX=0只有零解.
即c0.cn都是零
所以f(x)=c0+c1x+.+cn^(n-1)=0

附上“范德蒙行列式”词条http://baike.baidu.com/view/4567894.htm?fr=aladdin以供查阅.
参考文献：
克拉姆法则http://baike.baidu.com/view/1130618.htm?fr=aladdin