已知y=f(x)是偶函数,且在[0,+∞)是减函数,求函数f(1-x²)的单调区间为什么我算的不对以下是我的算法∵y=f(x)是偶函数∴在(-∞,0]上就是增函数1-x²在[0,+∞)上时就是减函数1-x²在(-∞,0]上

Question

已知y=f(x)是偶函数,且在[0,+∞)是减函数,求函数f(1-x²)的单调区间
为什么我算的不对
以下是我的算法
∵y=f(x)是偶函数
∴在(-∞,0]上就是增函数
1-x²在[0,+∞)上时就是减函数
1-x²在(-∞,0]上就是增函数
就是1-x²≥0时就是增函数
1-x²≤0就是减函数
-1≥x≤1就是增函数
x≥1或x≤-1为增函数
我错在哪了吗?
和答案怎么不一样?
刚刚打错了-
就是1-x²≥0时就是减函数
1-x²≤0就是增函数
-1≥x≤1就是减函数
x≥1或x≤-1为增函数
题目也打错了
是求函数f(1-x²)的单调增区间
我又重新算了,怎么还是不对呢？
设1-x²=u
∵f(x)是偶函数,且在[0,+∞)是减函数
∴f(x)在(-∞,0)上为增函数
∵f(u)在[0,+∞)上为减函数
u=1-x²（根据函数图象的性质）得出在[0,+∞)上为减函数
∴f(1-x²)在[0,+∞)上为增函数(根据复合函数的性质)
∴1-x²≥0
解得-1≤x≤1 (这部不对？)
∴当-1≤x≤1时,f(1-x²)在[0,+∞)上为增函数
又∵f(u)在(-∞,0)上为增函数
u=1-x²在(-∞,0)上为增函数(根据图象得出)
∴f(1-x²)在(-∞,0)上为增函数
1-x²≤0
x≥1或x≤-1
∴当x≥1或x≤-1时,f(1-x²)在(-∞,0)上为增函数

Answer 1

已知y=f(x)是偶函数,且在[0,+∞)是减函数,求函数f(1-x²)的单调区间
令y=f(u),u=1-x².
y=f(u)是偶函数,且在[0,+∞）是减函数,因此在(-∞,0]上是增函数；
u=1-x²是关于x的二次函数,其图像是开口朝下的抛物线,顶点(0,1),在[0,+∞）内是减函数；
在(-∞,0]内是增函数.
按“同增异减”原理,y=f(1-x²）在[0,+∞)内是增函数；在(-∞,0]内也是增函数；即y=f(1-x²)
在(-∞,+∞）内都是增函数.
你错在没有掌握“同增异减”原理：一个复合函数,如果两个组成函数的增减性相同,那么这个
复合函数就是增函数；如果两个组成函数的增减性相反,那么这个复合函数就是减函数.
在本题中,y=f(u),u=1-x²,在[0,+∞）上都是减函数；在(-∞,0]上都是增函数；因此复合函数
y=f(1-x²)在(-∞,+∞）上都是增函数.