已知函数fx是定义在r上的奇函数f(1)=0,xf'(x)-f(x)/x^2>0则f(x)>0的解集是答案是(-1,0)∪(1,正无穷).我知道F(x)=f(x)/x在(0,正无穷)上递增,此时f(x)>0,x∈（1,正无穷）但f（x）为奇函数,x也为奇,那F（x）

Question

已知函数fx是定义在r上的奇函数f (1 )=0 ,xf'(x)-f(x)/x^2 >0则f(x)>0的解集是
答案是(-1,0)∪(1,正无穷).我知道F(x)=f(x)/x在(0,正无穷)上递增,此时f(x)>0,x∈（1,正无穷）但f（x）为奇函数,x也为奇,那F（x）不就为偶了 在（-无穷,0）上不就递减,解集为（-无穷,-1）.但这样想是不对的为什么呢?

Answer 1

因为(xf'x-fx)/x^2=(f(x)/x)'>0,即f(x)/x为增函数.又因为x=1时,f(1)/1=0,那么
当x>1时,f(x)/x>f(1)/1=0,f(x)>0,那么x��f(x)>0成立.
当0≤x≤1时,f(x)/x≤f(1)/1=0,f(x)≤0,那么x��f(x)>0不成立.
当-1≤x0不成立.
当x0成立.
综上所述,当x>1和x0成立.所以x��f(x)>0的解集为：x1,即(-∞,-1)∪(1,+∞)