已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,左、右焦点分别为F1、F2,且两条曲线在第一象限的交点为P,三角0分形PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形.若PF1等于10,椭圆与双曲线的离心率分别为e1,e2,

Question

已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,左、右焦点分别为F1、F2,且两条曲线在第一象限的交点为P,三角0分
形PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形.若PF1等于10,椭圆与双曲线的离心率分别为e1,e2,则e1与e2的乘积的取值范围是 别弄些看不懂的

Answer 1

椭圆与双曲线有公共焦点,左、右焦点分别为F1、F2
设焦距为2c,椭圆的半长轴长为a,双曲线的半实轴长为a'
P在第一象限,根据椭圆及双曲线定义：
|PF1|+|PF2|=2a,|PF1|-|PF2|=2a'
∵PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形
∴|PF2|=|F1F2|=2c
∴|PF1|+2c=2a,|PF1|-2c=2a'
两式相减：
4c=2a-2a'
∴2=a/c-a'/c
即1/e1-1/e2=2
∴1/e1=2+1/e2=(2e2+1)/e2
∴e1=e2/(2e2+1)
∴e1e2=e²2/(2e2+1)
设2e2+1=t,∵e2>1 ∴t>3
∴e2=(t-1)/2
∴e1e2=[(t-1)/2]²/t=1/4[(t²-2t+1)/t]
=1/4[t+1/t-2]
∵函数t+1/t在（3,+∞）上为增函数
∴t+1/t>3+1/3=10/3
∴t+1/t-2>4/3
∴e1e2>1/3
即e1与e2的乘积的取值范围是(1/3,+∞)