设F1、F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点，与直线y=b相切的⊙F2交椭圆于E，且E是直线EF1与⊙F2的切点，则椭圆的离心率为（）A．32B．33C．54D．53

Question

设F₁、F₂分别是椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的左、右焦点，与直线y=b相切的⊙F₂交椭圆于E，且E是直线EF₁与⊙F₂的切点，则椭圆的离心率为（　　）

A．(√(3))/(2)
B．(√(3))/(3)
C．(√(5))/(4)
D．(√(5))/(3)

Answer 1

∵F₁、F₂分别是椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的左、右焦点，
与直线y=b相切的⊙F₂交椭圆于E，且E是直线EF₁与⊙F₂的切点，
∴EF₂=b，且EF₁⊥EF₂，
∵E在椭圆上，∴EF₁+EF₂=2a．
又∵F₁F₂=2c，∴F₁F₂²=EF₁²+EF₂²，即4c²=（2a-b）²+b²．将c²=a²-b²代入得b=(2)/(3)a．
e²=(c2)/(a2)=(a2−b2)/(a2)=1-（(b)/(a)）²=(5)/(9)．
∴椭圆的离心率e=(√(5))/(3)．
故选D．