设F1,F2分别为椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0),F1,F2为左右焦点,过F2的直线l与椭圆C交于A,B两点,直线l的倾斜角为60°,F1到直线l的距离为4倍根号3.(1)求椭圆C的焦距(2)若向量AF2=2倍向量F2B,求椭圆C的方程.

Question

设F1,F2分别为椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0),F1,F2为左右焦点,过F2的直线l与椭圆C交于A,B两点,直线l的倾斜角为60°,F1到直线l的距离为4倍根号3.(1)求椭圆C的焦距 (2)若向量AF2=2倍向量F2B,求椭圆C的方程.

Answer 1

设F1(-c,0)F2(c,0)
则l的方程为y=√3x-√3c
F1到直线l的距离为2√3
c=2
y=√3x-2√3 x=1/√3y+2 代入椭圆方程 b^2x^2+a^2y^2-a^2b^2=0中
得(b^2/3+a^2)y^2+4b^2/√3y+(4-a^2)b^2=0
AF2=2F2B |y1|与|y2|之间时两倍的关系
y1=[-4b^2/√3+√[16b^4/3-4(b^2/3+a^2)*(4-a^2)b^2]/2(b^2/3+a^2)
y2=[-4b^2/√3-√[16b^4/3-4(b^2/3+a^2)*(4-a^2)b^2]/2(b^2/3+a^2)
设 2|y1|=|y2|
4√3b^2=√[16b^4/3-4(b^2/3+a^2)*(4-a^2)b^2] c=2
12b^2=4b^2/3-(b^2/3+a^2)*(4-a^2) a^2=4+b^2
12b^2=4b^2/3+(b^2/3+b^2+4)*b^2)
解得b^2=27 a^2=31
椭圆C的方程 x^2/31+y^2/27=1