正三角形ABC内有一点P,PA=6,PB=8,PC=10,求出△ABC的面积

Question

正三角形ABC内有一点P,PA=6,PB=8,PC=10,求出△ABC的面积

Answer 1

假定等边△ABC的边长为k,作BC边上的高AD,则BD=k/2,由勾股定理得：
AD²
=AB²-BD²
=k²-k²/4
=3k²/4
AD=(√3)k/2
面积S=1/2×BC×AD=1/2×k×(√3)k/2=(√3)k²/4
以PA为边向△ABC外作一等边△APE(E点在AB边外),连结BE,可知：∠BAE+∠PAB=∠BAC=∠PAE=∠CAP+∠PAB=60°,所以：∠BAE=∠CAP；AB=AC,AE=AP,因此,△BAE≌△CAP；则：BE=CP=10,
在△BPE中,PE=6,PB=8,BE=10,因为：6²+8²=10²
所以,△BPE是一个以∠BPE为直角的直角三角形,所以：∠APB=∠APE+∠BPE=60°+90°=150°,
在△ABP中,由余弦定理得：
k²=AB²=PA²+PB²-2×PA×PB×cos∠APB
=6²+8²-2×6×8×cos150°
=100+48√3
综上,S△ABC=(√3)k²/4=(√3)/4×(100+48√3)=25(√3)+36.
注：在电脑里,√表示二次根号,25(√3)+36就表示25倍的根号3,再加上36.