如图，直线l与O相切于点A，AC为O的直径，AC=8，P是直径AC右侧半圆上的一个动点（不与点A、C重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA、PC．设PA=x，PB=y．求：（1）△APC与△APB相似吗？为什么

Question

如图，直线l与 O相切于点A，AC为 O的直径，AC=8，P是直径AC右侧半圆上的一个动点（不与点A、C重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA、PC．设PA=x，PB=y．求：

（1）△APC与△APB相似吗？为什么？
（2）求y与x的函数关系式； 
（3）当x为何值时，x-y取得最大值，最大值为多少？

Answer 1

（1）△APC∽△APB，
证明：∵ O与直线l相切于点A，且AB为 O的直径，
∴CA⊥l，∠CPA=90°，
又∵PB⊥l，
∴CA∥PB，
∴∠CAP=∠APB，
又∵PB⊥l，
∴∠APB=90°，
∴∠CAP=∠ABP，
∴△APC∽△APB；

（2）∵△APC∽△APB，
∴(AP)/(PB)=(AC)/(AP)，
∴(x)/(y)=(8)/(x)．
∴y=(1)/(8)x²（0<x<8）；

（3）x-y=x-(1)/(8)x2=-（(1)/(8)（x-4）²+2，
∴当x为4时，x-y取得最大值，最大值为2．