设函数f(x)=sinx+cosx和g(x)=2sinxcosx.若a为实数,求函数F(x)=f(x)+ag(x),x∈[0,π/2]的最小值

Question

设函数f(x)=sinx+cosx和g(x)=2sinxcosx.若a为实数,求函数F(x)=f(x)+ag(x),x∈[0,π/2]的最小值

Answer 1

F(x)的最小值是1.
1、对于f(x)=sinx+cosx
f²(x)=(sinx+cosx)²
=sin²x+2sinxcos+cos²x
=1+sin(2x)
因为：x∈[0,π/2]
所以：sin(2x)∈[0,1]
因此：1+sin(2x)∈[1,2]
即：f²(x)∈[1,2]
所以：f(x)min=1
2、对于g(x)=2sinxcosx
g(x)=sin(2x)
与上述理由相同,可知：g(x)∈[0,1]
由此得：g(x)min=0
因此：ag(x)min=0
对于F(x)=f(x)+ag(x)
F(x)min=f(x)min+ag(x)min=1+0=1
即：所求F(x)的最小值是1