已知A、B、C是椭圆M：上的三点，其中点A的坐标为（2，0），BC过椭圆M的中心，且。（1）求椭圆M的方程；（2）过点（0，t）的直线（斜率存在时）与椭圆M交于两点P、Q，设

Question

已知A、B、C是椭圆M： 上的三点，其中点A的坐标为（2 ，0），BC过椭圆M的中心，且 。

（1）求椭圆M的方程；
（2）过点（0，t）的直线（斜率存在时）与椭圆M交于两点P、Q，设D为椭圆M与y轴负半轴的交点，且 ，求实数t的取值范围。

Answer 1

（1）∵点A的坐标为（ ，0），
∴ ，椭圆方程为 ，      ①
又∵ ，且BC过椭圆M的中心 O（0，0），
∴ ，
又∵ ，
∴△AOC是以∠C为直角的等腰三角形，
易得C点坐标为（ ， ），
将（ ， ）代入①式得 ，
∴椭圆M的方程为 。
（2）当直线 的斜率k=0，直线 的方程为y=t，则满足题意的t的取值范围为-2<t<2，
当直线 的斜率k≠0时，设直线的方程为y=kx+t，
由 ，得 ，
∵直线 与椭圆M交于两点P、Q，
∴△= ，
即 ，                                       ②
设P（x ₁ ，y ₁ ），Q（x ₂ ，y ₂ ），PQ的中点 ，
则H的横坐标 ， 纵坐标 ，
D点的坐标为（0，-2），
由 ，得DH⊥PQ， ，
即 ，即 ，     ③
∴ ，∴t>1，                                     ④
由②③得0<t<4，结合④得到1<t<4，
综上所述，t的取值范围是（-2，4）。