已知圆M和圆P：x2+y2-22x-10=0相内切，且过定点Q（-2，0）．（Ⅰ）求动圆圆心M的轨迹方程；（Ⅱ）不垂直于坐标的直线l与动圆圆心M的轨迹交于A、B两点，且线段AB的垂直平分线经过点（0，-12）

Question

已知圆M和圆P：x²+y²-2√(2)x-10=0相内切，且过定点Q（-√(2)，0）．
（Ⅰ）求动圆圆心M的轨迹方程；
（Ⅱ）不垂直于坐标的直线l与动圆圆心M的轨迹交于A、B两点，且线段AB的垂直平分线经过点（0，-(1)/(2)），求△AOB（O为原点）面积的最大值．

Answer 1

（I）由已知|MP|=2√(3)-|MQ|，即|MP|+|MQ|=2√(3)，…（2分）
且2√(3)大于|PQ|，…（3分）
所以M的轨迹是以（-√(2)，0），（√(2)，0）为焦点，2√(3)为长轴长的椭圆，
即其方程为(x2)/(3)+y2＝1．…（5分）
（II）设AB的方程为y=kx+t，
代入椭圆方程得到（3k²+1）x²+6ktx+3t²-3=0，
△=4（9k²+3-3t²）＞0，即3k²+1＞t²，①方程有两个不同的解，…（6分）
x1+x2＝(−6kt)/(3k2+1)，(x1+x2)/(2)＝(−3kt)/(3k2+1)，

y1+

作业帮用户 2017-10-24

问题解析

（I）由已知得M的轨迹是以（-√(2)，0），（√(2)，0）为焦点，2√(3)为长轴长的椭圆，由此能求出动圆圆心M的轨迹方程．
（II）设AB的方程为y=kx+t，代入椭圆方程得到（3k²+1）x²+6ktx+3t²-3=0，由此利用韦达定理、椭圆弦长公式、点到直线的距离公式结合已知条件能求出△AOB（O为原点）面积的最大值．

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．

考点点评：

本题动圆圆心的轨迹方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理、椭圆弦长公式、点到直线的距离公式的合理运用．

扫描下载二维码

©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]  作业帮协议