已知圆M的圆心在直线y=x上，且与直线2x+y-2=0相切于点P（1，0），（1）求圆M的标准方程；（2）若圆M与圆N：（x-2m）2+（y-n）2=n2+1交于A，B两点，且这两点平分圆M的圆周，求圆N的半径的最小值

Question

已知圆M的圆心在直线y=x上，且与直线2x+y-2=0相切于点P（1，0），
（1）求圆M的标准方程；
（2）若圆M与圆N：（x-2m）²+（y-n）²=n²+1交于A，B两点，且这两点平分圆M的圆周，求圆N的半径的最小值及此时圆N的方程．

Answer 1

（1）因为圆M的圆心在直线y=x上，则可设圆心为C（a，a）．
由于圆M与直线2x+y-2=0相切于点P（1，0），
则点C到直线2x+y-2=0的距离d=MP，即 (|2a+a−2|)/(√(22+12))＝√((a−1)2+a2)，
则a²+2a+1=0，
解得a=-1．
所以圆心为C（-1，-1），半径r=d=√(5)，
则所求圆的方程是（x+1）²+（y+1）²=5．
（2）由于圆N：（x-2m）²+（y-n）²=n²+1，
则圆N的圆心N（2m，n），半径r=√(n2+1)，
由平面几何知识，得：|AN|²=|AM|²+|MN|²，
所以n²+1=5+（2m+1）²+（n+1）²，
即n＝−2m2−2m−3＝−2(m+(1)/(2))2−(5)/(2)≤−(5)/(2)，
当n＝−(5)/(2)时，r的最小值为(√(29))/(2)，m=-(1)/(2)
此时此时圆N的方程为：(x+1)2+(y+(5)/(2))2＝

作业帮用户 2017-11-10

问题解析

（1）由圆M的圆心在直线y=x上，设出圆心C的坐标为（a，a），由点到直线的距离公式表示出圆心C到直线的距离d，然后利用两点间的距离公式表示出MP的长度即为圆的半径，然后根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，由a的值可确定出圆心坐标及半径，然后根据圆心和半径写出圆的方程即可；
（2）欲求半径最小时圆N的方程，由于圆N半径r=

(29)/(4)√(n2+1)，只须求出n的取值范围即可．

名师点评

本题考点：

直线与圆相交的性质；圆的标准方程．

考点点评：

本小题主要考查圆与圆的位置关系、曲线与方程、函数最值等基础知识，以及求动点轨迹的基本技能和综合运用数学知识解决问题的能力．

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