如图，已知圆心坐标为（3，1）的圆M与x轴及直线y=3x分别相切于A，B两点，另一圆N与圆M外切、且与x轴及直线y=3x分别相切于C、D两点．（1）求圆M和圆N的方程；（2）过点B作直线MN的平行线l，

Question

如图，已知圆心坐标为（√(3)，1）的圆M与x轴及直线y=√(3)x分别相切于A，B两点，另一圆N与圆M外切、且与x轴及直线y=√(3)x分别相切于C、D两点．
（1）求圆M和圆N的方程；
（2）过点B作直线MN的平行线l，求直线l被圆N截得的弦的长度．

Answer 1

（1）由于⊙M与∠BOA的两边均相切，故M到OA及OB的距离均为⊙M的半
径，则M在∠BOA的平分线上，
同理，N也在∠BOA的平分线上，即O，M，N三点共线，且OMN为∠BOA
的平分线，
∵M的坐标为（√(3)，1），∴M到x轴的距离为1，即⊙M的半径为1，
则⊙M的方程为(x−√(3))2+(y−1)2＝1，（4分）
设⊙N的半径为r，其与x轴的切点为C，连接MA，NC，
由Rt△OAM∽Rt△OCN可知，OM：ON=MA：NC，
即(2)/(3+r)＝(1)/(r)得r=3，
则OC=3√(3)，则⊙N的方程为(x−3√(3))2+(y−3)2＝9；（8分）
（2）由对称性可知，所求的弦长等于过A点直线MN的平行线被⊙N截得的弦的长度，
此弦的方程是y＝(√(3))/(3)(x−√(3))，即：x-√(3)y-