r(A矩阵的转置乘以A矩阵)=r(A)这个等式恒成立吗?其中r(A)表示矩阵A的秩.那r(AA^T)=r(A)吗？

Question

r(A矩阵的转置乘以A矩阵)=r(A)这个等式恒成立吗?其中r(A)表示矩阵A的秩.
那r(AA^T)=r(A)吗？

Answer 1

当A是实矩阵时成立
证明:记A'=A^T
(1)设X1是AX=0的解,则AX1=0
所以A'AX1=A'(AX1)=A'0=0
所以X1是A'AX=0的解.
故 Ax=0 的解是 A'AX=0 的解.
(2)设X2是A'AX=0的解,则A'AX2=0
等式两边左乘 X2'得 X2'A'AX2=0
所以有 (Ax2)'(Ax2)=0
所以 AX2=0.[长度为0的实向量必为0向量,此时用到A是实矩阵]
所以X2是AX=0的解.
故A'AX=0的解是AX=0的解.
综上知齐次线性方程组AX=0与A'AX=O是同解方程组.
所以其基础解系所含解向量的个数相同
故 r(A'A) = r(A)