已知定义域为R的函数f(x)＝−2x+a2x+1是奇函数．（Ⅰ）求a值；（Ⅱ）判断并用定义法证明该函数在定义域R上的单调性；（Ⅲ）设关于x的函数F（x）=f（4x-b）+f（2x+1）有零点，求实数b的取值范

Question

已知定义域为R的函数f(x)＝(−2x+a)/(2x+1)是奇函数．
（Ⅰ）求a值；
（Ⅱ）判断并用定义法证明该函数在定义域R上的单调性；
（Ⅲ）设关于x的函数F（x）=f（4^x-b）+f（2^x+1）有零点，求实数b的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（0）=0，
即(−20+a)/(20+1)=0，
∴(−1+a)/(2)=0，
解得a=1，
（Ⅱ）f（x）在R上单调递减．证明如下：
由（Ⅰ）知f（x）=(−2x+1)/(2x+1)=-(2x−1)/(2x+1)=-(2x+1−2)/(2x+1)=-1+(2)/(2x+1)，
设x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=（-1+(2)/(2x1+1)）-（-1+(2)/(2x2+1)）=(2(2x2−2x1))/((2x1+1)(2x2+1))，
∵x₁＜x₂，∴2 x2-2 x1＞0，2 x1+1＞0，2 x2+1＞0，
∴(2(2x2−2x1))/((2x1+1)(2x2+1))＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在R上是减函数．
（III）F（x）=f（4^x-b）+f（2^x+1）=（-1+(2)/(24x−b+1)）+（-1+(2)/(作业帮用户2017-10-04举报问题解析（Ⅰ）由R上奇函数的性质可得f（0）=0，由此可求得a值；（Ⅱ）设x1＜x2，利用作差可判断f（x1）与f（x2）的大小关系，结合函数单调性的定义可作出判断；（III）化简可得F（x）=f（4x-b）+f（2x+1）=-2+(2)/(24x−b+1)+(2)/(22x+1+1)，则问题转化为方程-2+(2)/(24x−b+1)+(2)/(22x+1+1)=0有解，化简得b=4x+2x+1，则问题转化为方程b=4x+2x+1有解，通过换元转化为求函数的值域即可；名师点评本题考点：奇偶性与单调性的综合．考点点评：本题考查函数的奇偶性、单调性的综合运用，考查函数的零点，考查转化思想，考查学生分析问题解问题的能力．扫描下载二维码©2020 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)