已知函数f（x）=12x2-alnx（a∈R）．（1）试讨论函数的单调性；（2）若函数f（x）在（1，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围．

Question

已知函数f（x）=(1)/(2)x2-alnx（a∈R）．
（1）试讨论函数的单调性；
（2）若函数f（x）在（1，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）∵f′（x）=x-(a)/(x)，
①a≤0时，f′（x）>0，f（x）在（0，+∞）单调递增，
②a>0时，令f′（x）>0，解得：x>√(a)，x<-√(a)（舍），
令f′（x）<0，解得：0<x<√(a)，
∴f（x）在（0，√(a)）递减，在（√(a)，+∞）递增．
（2）函数f（x）在（1，+∞）上是增函数⇔f′（x）=x-(a)/(x)≥0在（1，+∞）上恒成立⇔a≤（x²）_min在（1，+∞）上恒成立．
∵函数y=x²在（1，+∞）上满足y>1．
∴a≤1．