（2014•邯郸一模）已知函数f（x）=12x2-（a+1）x+alnx+1（Ⅰ）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）的极大值；（Ⅱ）求a的范围，使得f（x）≥1恒成立．

Question

（2014•邯郸一模）已知函数f（x）=(1)/(2)x²-（a+1）x+alnx+1
（Ⅰ）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）的极大值；
（Ⅱ）求a的范围，使得f（x）≥1恒成立．

Answer 1

（1）f′(x)＝x−(a+1)+(a)/(x)
∵x=3是f（x）的极值点，∴f′(3)＝3−(a+1)+(a)/(3)＝0，解得a=3
当a=3时，f′(x)＝(x2−4x+3)/(x)＝((x−1)(x−3))/(x)，
当x变化时，

x	（0，1）	1	（1，3）	3	（3，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	极大值	递减	极小值	递增

f（x）的极大值为f(1)＝−(5)/(2)；
（2）要使得f（x）≥1恒成立，即x＞0时，(1)/(2)x2−(a+1)x+alnx≥0恒成立，
设g(x)＝(1)/(2)x2−(a+1)x+alnx，则g′(x)＝x−(a+1)+(a)/(x)＝((x−1)(x−a))/(x)，
（ⅰ）当a≤0时，由g′（x）＜0得单减区间为（0，1），由g′（x）＞0得单增区间为（1，+∞），
故g(x)min＝g(1)＝−a−(1)/(2)≥0，得a≤−(1)/(2)；
（ ii）当0＜a＜1时，由g′（x）＜0得单减区间为（a，1），由g′（x）＞0得单增区间为（0，a），（1，+∞），
此时g(1)＝−a−(1)/(2)＜0，∴不合题意；
（ iii）当a=1时，f（x）在（0，+∞）上单增，此时g(1)＝−a−(1)/(2)＜0，∴不合题意；
（ iv）当a＞1时，由g′（x）＜0得单减区间为（1，a），由g′（x）＞0得单增区间为（0，1），（a，+∞），
此时g(1)＝−a−(1)/(2)＜0，∴不合题意．
综上所述：a≤−(1)/(2)时，f（x）≥1恒成立．