已知函数f（x）=x+alnx在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，函数g（x）=f（x）+12x2-bx．（1）求实数a的值；（2）若函数g（x）存在单调递减区间，求实数b的取值范围；（3）设x1，x2（x1＜x2）是函数g

Question

已知函数f（x）=x+alnx在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，函数g（x）=f（x）+(1)/(2)x²-bx．
（1）求实数a的值；
（2）若函数g（x）存在单调递减区间，求实数b的取值范围；
（3）设x₁，x₂（x₁＜x₂）是函数g（x）的两个极值点，若b≥(7)/(2)，求g（x₁）-g（x₂）的最小值．

Answer 1

（1）∵f（x）=x+alnx，
∴f′（x）=1+(a)/(x)，
∵f（x）在x=1处的切线l与直线x+2y=0垂直，
∴k=f′（x）|_x=1=1+a=2，
解得a=1．
（2）∵g（x）=lnx+(1)/(2)x2-（b-1）x，
∴g′（x）=(x2−(b−1)x+1)/(x)，x＞0，
由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，
即x+(1)/(x)+1-b＜0有解，
∵定义域x＞0，
∴x+(1)/(x)≥2，
x+(1)/(x)＜b-1有解，
只需要x+(1)/(x)的最小值小于b-1，
∴2＜b-1，解得实数b的取值范围是{b|b＞3}．
（3）∵g（x）=lnx+(1)/(2)x2-（b-1）x，
∴g′（x）=(x2−(b−1)x+1)/(x)=0，∴x₁+x₂=b-1，x₁x₂=1
∴g（x₁）-g（x₂）=ln(x1)/(x2)-(1)/(2)（(x1)/(x2)-(x2)/(x1)）
∵0＜x₁＜x₂，
∴设t=(x1)/(x2)，0＜t＜1，
令h（t）=lnt-(1)/(2)（t-(1)/(t)），0＜t＜1，
则h′（t）=-((t−1)2)/(2t2)＜0，
∴h（t）在（0，1）上单调递减，
又∵b≥(7)/(2)，∴（b-1）²≥(25)/(4)，
∵0＜t＜1，∴4t²-17t+4≥0，
∴0＜t(1)/(4)，h（t）≥h（(1)/(4)）=(15)/(8)-2ln2，
故所求的最小值为(15)/(8)-2ln2．