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已知函数f(x)=x+alnx,在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直,函数g(x)=f(x)+12x2-bx.(1)求实数a的值;(2)设x1,x2(x1<x2)是函数g(x)的两个极值点,记t=x1x2,若b≥133,①t的取值范围;
题目详情
已知函数f(x)=x+alnx,在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直,函数g(x)=f(x)+
x2-bx.
(1)求实数a的值;
(2)设x1,x2(x1<x2)是函数g(x)的两个极值点,记t=
,若b≥
,
①t的取值范围;
②求g(x1)-g(x2)的最小值.
1 |
2 |
(1)求实数a的值;
(2)设x1,x2(x1<x2)是函数g(x)的两个极值点,记t=
x1 |
x2 |
13 |
3 |
①t的取值范围;
②求g(x1)-g(x2)的最小值.
▼优质解答
答案和解析
(1)由题函数f(x)=x+alnx,在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直,
可得f′(x)=1+
由题意知f′(1)=1+a=2,即a=1…(2分)
(2)①由g(x)=lnx+
x2-(b-1)x,g′(x)=
令g′(x)=0,x2-(b-1)x+1=0.
即x1+x2=b-1,x1x2=1
而
=
+2+
=t+2+
=(b-1)2≥
…(6分)
由x1<x2,即0<t<1,解上不等式可得:0<t≤
…(8分)
②而g(x1)-g(x2)=ln
-
(
-
)=lnt-
(t-
)
构造函数h(t)=lnt-
(t-
),t∈(0,
]
由t∈(0,
],h′(t)=-
<0,
故h(t)在定义域内单调递减,h(t)min=h(
)=
-2ln3
所以g(x1)-g(x2)的最小值为
-2ln3…(14分)
可得f′(x)=1+
a |
x |
由题意知f′(1)=1+a=2,即a=1…(2分)
(2)①由g(x)=lnx+
1 |
2 |
x2-(b-1)x+1 |
x |
令g′(x)=0,x2-(b-1)x+1=0.
即x1+x2=b-1,x1x2=1
而
(x1+x2)2 |
x1x2 |
x1 |
x2 |
x2 |
x1 |
1 |
t |
100 |
9 |
由x1<x2,即0<t<1,解上不等式可得:0<t≤
1 |
9 |
②而g(x1)-g(x2)=ln
x1 |
x2 |
1 |
2 |
x1 |
x2 |
x2 |
x1 |
1 |
2 |
1 |
t |
构造函数h(t)=lnt-
1 |
2 |
1 |
t |
1 |
9 |
由t∈(0,
1 |
9 |
(t-1)2 |
2t2 |
故h(t)在定义域内单调递减,h(t)min=h(
1 |
9 |
40 |
9 |
所以g(x1)-g(x2)的最小值为
40 |
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