已知函数f（x）=x+alnx，在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，函数g（x）=f（x）+12x2-bx．（1）求实数a的值；（2）设x1，x2（x1<x2）是函数g（x）的两个极值点，记t=x1x2，若b≥133，①t的取值范围；

Question

已知函数f（x）=x+alnx，在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，函数g（x）=f（x）+(1)/(2)x2-bx．
（1）求实数a的值；
（2）设x₁，x₂（x₁<x₂）是函数g（x）的两个极值点，记t=(x1)/(x2)，若b≥(13)/(3)，
①t的取值范围；
②求g（x₁）-g（x₂）的最小值．

Answer 1

（1）由题函数f（x）=x+alnx，在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，
可得f′(x)=1+(a)/(x)
由题意知f′（1）=1+a=2，即a=1…（2分）
（2）①由g(x)=lnx+(1)/(2)x2-(b-1)x，g′(x)=(x2-(b-1)x+1)/(x)
令g′（x）=0，x²-（b-1）x+1=0．
即x₁+x₂=b-1，x₁x₂=1
而((x1+x2)2)/(x1x2)=(x1)/(x2)+2+(x2)/(x1)=t+2+(1)/(t)=(b-1)2≥(100)/(9)…（6分）
由x₁<x₂，即0<t<1，解上不等式可得：0<t≤(1)/(9)…（8分）
②而g(x1)-g(x2)=ln(x1)/(x2)-(1)/(2)((x1)/(x2)-(x2)/(x1))=lnt-(1)/(2)(t-(1)/(t))
构造函数h(t)=lnt-(1)/(2)(t-(1)/(t))，t∈(0，(1)/(9)]
由t∈(0，(1)/(9)]，h′（t）=-((t-1)2)/(2t2)<0，
故h（t）在定义域内单调递减，h(t)min=h((1)/(9))=(40)/(9)-2ln3
所以g（x₁）-g（x₂）的最小值为(40)/(9)-2ln3…（14分）