已知函数f（x）=sin（ωx+Φ）（ω＞0，0≤Φ≤π）为偶函数，其图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π．（1）求f（x）的解析式；（2）若sinα+f（α）=23，求2sin(2α−π4)+11+tanα的值．

Question

已知函数f（x）=sin（ωx+Φ）（ω＞0，0≤Φ≤π）为偶函数，其图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π．
（1）求f（x）的解析式；  
（2）若sinα+f（α）=(2)/(3)，求(√(2)sin(2α−(π)/(4))+1)/(1+tanα)的值．

Answer 1

（1）由图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π．
即有T=2π，ω=(2π)/(T)=1，
由函数f（x）=sin（ωx+Φ）（ω＞0，0≤Φ≤π）为偶函数，
则Φ=kπ+(π)/(2)，k为整数，由0≤Φ≤π，则Φ=(π)/(2)，
则f（x）=sin（x+(π)/(2)）=cosx；
（2）由sinα+f（α）=(2)/(3)，得到sinα+cosα=(2)/(3)，
则平方有2sinαcosα=-(5)/(9)，
则(√(2)sin(2α−(π)/(4))+1)/(1+tanα)=(√(2)((√(2))/(2)sin2α−(√(2))/(2)cos2α)+1)/((sinα+cosα)/(cosα))
=(cosα(sin2α−cos2α+1))/(cosα+sinα)
=(cosα)/(cosα+sinα)•（2sin²α+2sinαcosα）
=2sinαcosα=-(5)/(9)．