求助!有没有这个公式：定积分∫[Asin(2π/T)]^2=(A^2*T)/4高中物理交流电那块讲过,正弦式电流的有效值的√2倍就是电流的峰值.由此观之,令电流I=Asin(2π/T),可得(I有效)^2*T/2=∫I^2令sin(2π/T)=1,此

Question

【求助!】有没有这个公式：定积分∫[Asin(2π/T)]^2=(A^2*T)/4
高中物理交流电那块讲过,正弦式电流的有效值的√2倍就是电流的峰值.
由此观之,
令电流I=Asin(2π/T),
可得(I有效)^2*T/2=∫I^2
令sin(2π/T)=1,此时I(max)=A
又因为 I有效=I(max)/√2
故 (I有效)^2*T/2=(A^2*T)/4
∫I^2就是∫[Asin(2π/T)]^2嘛,
所以∫[Asin(2π/T)]^2=(A^2*T)/4
首先请问,我上述推理对吗?
另外,由于我这个“公式”是由结论倒推过来的,并没有证明.
那么,如果这个公式是对的,请问它究竟怎么证呢?
望各位数学大神帮帮忙,小弟我实在不会求[Asin(2π/T)]^2的原函数啊.帮帮忙帮帮忙.如果解答完整严谨详细,在下一定附送更多的分!

Answer 1

你说的那个公式是求交流电流(或电压,下同)有效值的公式,但你写的公式不严密,你的推导过程也是由结论推导出结论,不合乎逻辑.应该是这样:设交流电流为i=Asin(2πt/T),式中i为交流电流的瞬时值,A为电流峰值(最大值),T为周期,t为时间.瞬时值i随时间在不断变化,实际中一般用有效值表示交流电流的大小.设交流电流的有效值为I(注意大小写),则:I^2=(1/T)∫(0→T)i^2dt =(1/T)∫(0→T)A^2[sin(2πt/T)]^2dt =(A^2/T)∫(0→T)[1-cos(4πt/T)]/2dt =(A^2/2T)∫(0→T)[1-cos(4πt/T)]dt =(A^2/2T)[∫(0→T)dt-∫(0→T)cos(4πt/T)dt] =(A^2/2T)[T-T/4π∫(0→T)dsin(4πt/T)] =(A^2/2T)[T-0] =A^2/2 所以:I=A/√2,即交流电流的有效值等于峰值的√2分之一(√2为2的平方根).