在四边形ABCD中，E、G分别是AD、BC的中点，F、H分别是BD、AC的中点．（1）当AB、CD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形？（2）当AB、CD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？（3）当AB、CD满足什么

Question

在四边形ABCD中，E、G分别是AD、BC的中点，F、H分别是BD、AC的中点．
（1）当AB、CD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形？
（2）当AB、CD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？
（3）当AB、CD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形？

Answer 1

（1）当AB⊥CD时，四边形EFGH是矩形．
证明：∵E、F分别是AD，BD的中点，G、H分别中BC，AC的中点，
∴EF∥AB，EF=(1)/(2)AB；GH∥AB，GH=(1)/(2)AB．
∴EF∥GH，EF=GH．
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AB⊥CD，
∴四边形EFGH是矩形．

（2）当AB=CD时，四边形EFGH是菱形．
证明：∵E、F分别是AD，BD的中点，H，G分别是AC，BC的中点，G、F分别是BC，BD的中点，E，H分别是AD，AC的中点，
∴EF=(1)/(2)AB，HG=(1)/(2)AB，FG=(1)/(2)CD，EH=(1)/(2)CD，
又∵AB=CD，
∴EF=FG=GH=EH，
∴四边形EFGH是菱形．

（3）答：当四边形ABCD满足AC=BD且AC⊥BD时，四边形EFGH为正方形，
证明：∵E、F分别是四边形ABCD的边AB、BC的中点，
∴EF∥AC，EF=(1)/(2)AB，
同理，EH∥BD，EH=(1)/(2)CD，GF=(1)/(2)CD，GH=(1)/(2)AB，
∵AC=BD
∴EF=EH=GH=GF，
∴平行四边形ABCD是菱形．
∵AC⊥BD，
∴EF⊥EH，
∴四边形EFGH是正方形．