如图，在梯形ABCD中，M、N分别为AD、BC的中点，E、F分别为BM、CM的中点．（1）求证：四边形MENF是平行四边形；（2）当梯形ABCD满足什么条件时，四边形MENF是菱形？（3）若四边形MENF的面积是

Question

如图，在梯形ABCD中，M、N分别为AD、BC的中点，E、F分别为BM、CM的中点．
（1）求证：四边形MENF是平行四边形；
（2）当梯形ABCD满足什么条件时，四边形MENF是菱形？
（3）若四边形MENF的面积是梯形ABCD面积的(1)/(3)，问AD、BC满足什么关系？


(1)/(3)，问AD、BC满足什么关系？(1)/(3)1133

Answer 1

（1）证明：∵N为BC的中点，E、F分别为BM、CM的中点，
∴NE∥MC，且NE=(1)/(2)MC=MF，
∴四边形MENF是平行四边形；

（2）证明：若四边形MENF是菱形，则ME=MF，即MB=MC，
则∠MBC=∠MCB，
∵AD∥BC，
∴∠AMB=∠MBC，∠DMC=∠MCB，
∴∠AMB=∠DMC，
又∵M为AD的中点，
∴AM=DM，
则在△AMB与△DMC中，
∵

MB＝MC

∠AMB＝∠DMC

AM＝DM      

，
∴△AMB≌△DMC（SAS），
∴AB=DC（全等三角形的对应边相等）．
即：当梯形ABCD是等腰梯形时，四边形MENF是菱形；

（3）证明：∵NE，NF为△MBC的中位线，
∴S_{四边形MENF}=(1)/(2)S_△MBC，
要使S_{四边形MENF}=(1)/(3)S_梯形ABCD，即(1)/(2)S_△MBC=(1)/(3)S_梯形ABCD，
∴S_△MBC=(2)/(3)S_梯形ABCD，
而S_梯形ABCD=S_△MBC+S_△ABM+S_△DCM，
设AD与BC之间的距离为h，
则 (1)/(2)BC•h=(2)/(3)×(1)/(2)（BC•h+AM•h+DM•h），
即BC=(2)/(3)（BC+AD），得BC=2AD．
故当BC=2AD时，四边形MENF的面积是梯形ABCD面积的(1)/(3)． (1)/(2)111222MC=MF，
∴四边形MENF是平行四边形；

（2）证明：若四边形MENF是菱形，则ME=MF，即MB=MC，
则∠MBC=∠MCB，
∵AD∥BC，
∴∠AMB=∠MBC，∠DMC=∠MCB，
∴∠AMB=∠DMC，
又∵M为AD的中点，
∴AM=DM，
则在△AMB与△DMC中，
∵

MB＝MC

∠AMB＝∠DMC

AM＝DM      

，
∴△AMB≌△DMC（SAS），
∴AB=DC（全等三角形的对应边相等）．
即：当梯形ABCD是等腰梯形时，四边形MENF是菱形；

（3）证明：∵NE，NF为△MBC的中位线，
∴S_{四边形MENF}=(1)/(2)S_△MBC，
要使S_{四边形MENF}=(1)/(3)S_梯形ABCD，即(1)/(2)S_△MBC=(1)/(3)S_梯形ABCD，
∴S_△MBC=(2)/(3)S_梯形ABCD，
而S_梯形ABCD=S_△MBC+S_△ABM+S_△DCM，
设AD与BC之间的距离为h，
则 (1)/(2)BC•h=(2)/(3)×(1)/(2)（BC•h+AM•h+DM•h），
即BC=(2)/(3)（BC+AD），得BC=2AD．
故当BC=2AD时，四边形MENF的面积是梯形ABCD面积的(1)/(3)．

MB＝MC

∠AMB＝∠DMC

AM＝DM      

MB＝MC

∠AMB＝∠DMC

AM＝DM      

MB＝MC

∠AMB＝∠DMC

AM＝DM      

MB＝MC

∠AMB＝∠DMC

AM＝DM      

MB＝MCMB＝MCMB＝MC∠AMB＝∠DMC∠AMB＝∠DMC∠AMB＝∠DMCAM＝DM      AM＝DM      AM＝DM      ，
∴△AMB≌△DMC（SAS），
∴AB=DC（全等三角形的对应边相等）．
即：当梯形ABCD是等腰梯形时，四边形MENF是菱形；

（3）证明：∵NE，NF为△MBC的中位线，
∴S_{四边形MENF}四边形MENF=(1)/(2)S_△MBC，
要使S_{四边形MENF}=(1)/(3)S_梯形ABCD，即(1)/(2)S_△MBC=(1)/(3)S_梯形ABCD，
∴S_△MBC=(2)/(3)S_梯形ABCD，
而S_梯形ABCD=S_△MBC+S_△ABM+S_△DCM，
设AD与BC之间的距离为h，
则 (1)/(2)BC•h=(2)/(3)×(1)/(2)（BC•h+AM•h+DM•h），
即BC=(2)/(3)（BC+AD），得BC=2AD．
故当BC=2AD时，四边形MENF的面积是梯形ABCD面积的(1)/(3)． (1)/(2)111222S_△MBC△MBC，
要使S_{四边形MENF}四边形MENF=(1)/(3)S_梯形ABCD，即(1)/(2)S_△MBC=(1)/(3)S_梯形ABCD，
∴S_△MBC=(2)/(3)S_梯形ABCD，
而S_梯形ABCD=S_△MBC+S_△ABM+S_△DCM，
设AD与BC之间的距离为h，
则 (1)/(2)BC•h=(2)/(3)×(1)/(2)（BC•h+AM•h+DM•h），
即BC=(2)/(3)（BC+AD），得BC=2AD．
故当BC=2AD时，四边形MENF的面积是梯形ABCD面积的(1)/(3)． (1)/(3)111333S_梯形ABCD梯形ABCD，即(1)/(2)S_△MBC=(1)/(3)S_梯形ABCD，
∴S_△MBC=(2)/(3)S_梯形ABCD，
而S_梯形ABCD=S_△MBC+S_△ABM+S_△DCM，
设AD与BC之间的距离为h，
则 (1)/(2)BC•h=(2)/(3)×(1)/(2)（BC•h+AM•h+DM•h），
即BC=(2)/(3)（BC+AD），得BC=2AD．
故当BC=2AD时，四边形MENF的面积是梯形ABCD面积的(1)/(3)． (1)/(2)111222S_△MBC△MBC=(1)/(3)S_梯形ABCD，
∴S_△MBC=(2)/(3)S_梯形ABCD，
而S_梯形ABCD=S_△MBC+S_△ABM+S_△DCM，
设AD与BC之间的距离为h，
则 (1)/(2)BC•h=(2)/(3)×(1)/(2)（BC•h+AM•h+DM•h），
即BC=(2)/(3)（BC+AD），得BC=2AD．
故当BC=2AD时，四边形MENF的面积是梯形ABCD面积的(1)/(3)． (1)/(3)111333S_梯形ABCD梯形ABCD，
∴S_△MBC△MBC=(2)/(3)S_梯形ABCD，
而S_梯形ABCD=S_△MBC+S_△ABM+S_△DCM，
设AD与BC之间的距离为h，
则 (1)/(2)BC•h=(2)/(3)×(1)/(2)（BC•h+AM•h+DM•h），
即BC=(2)/(3)（BC+AD），得BC=2AD．
故当BC=2AD时，四边形MENF的面积是梯形ABCD面积的(1)/(3)． (2)/(3)222333S_梯形ABCD梯形ABCD，
而S_梯形ABCD梯形ABCD=S_△MBC△MBC+S_△ABM△ABM+S_△DCM△DCM，
设AD与BC之间的距离为h，
则 (1)/(2)BC•h=(2)/(3)×(1)/(2)（BC•h+AM•h+DM•h），
即BC=(2)/(3)（BC+AD），得BC=2AD．
故当BC=2AD时，四边形MENF的面积是梯形ABCD面积的(1)/(3)． (1)/(2)111222BC•h=(2)/(3)×(1)/(2)（BC•h+AM•h+DM•h），
即BC=(2)/(3)（BC+AD），得BC=2AD．
故当BC=2AD时，四边形MENF的面积是梯形ABCD面积的(1)/(3)． (2)/(3)222333×(1)/(2)（BC•h+AM•h+DM•h），
即BC=(2)/(3)（BC+AD），得BC=2AD．
故当BC=2AD时，四边形MENF的面积是梯形ABCD面积的(1)/(3)． (1)/(2)111222（BC•h+AM•h+DM•h），
即BC=(2)/(3)（BC+AD），得BC=2AD．
故当BC=2AD时，四边形MENF的面积是梯形ABCD面积的(1)/(3)． (2)/(3)222333（BC+AD），得BC=2AD．
故当BC=2AD时，四边形MENF的面积是梯形ABCD面积的(1)/(3)． (1)/(3)111333．