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已知,点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点(不与A,B重合),分别过点A,B向直线CP作垂线,垂足分别为E,F,Q为斜边AB的中点.(1)当点P与点Q重合时,如图1,写出QE与QF的数量关系,不证明
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已知,点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点(不与A,B重合),分别过点A,B向直线CP作垂线,垂足分别为E,F,Q为斜边AB的中点.
(1)当点P与点Q重合时,如图1,写出QE与QF的数量关系,不证明;
(2)当点P在线段AB上且不与点Q重合时,如图2,(1)的结论是否成立?并证明;
(3)当点P在线段BA(或AB)的延长线上时,如图3,此时(1)的结论是否成立?请画出图形并给予证明.
(1)当点P与点Q重合时,如图1,写出QE与QF的数量关系,不证明;
(2)当点P在线段AB上且不与点Q重合时,如图2,(1)的结论是否成立?并证明;
(3)当点P在线段BA(或AB)的延长线上时,如图3,此时(1)的结论是否成立?请画出图形并给予证明.

▼优质解答
答案和解析
(1)QE=QF,
理由是:如图1,∵Q为AB中点,
∴AQ=BQ,
∵BF⊥CP,AE⊥CP,
∴∠BFQ=∠AEQ=90°,
在△BFQ和△AEQ中
∴△BFQ≌△AEQ(AAS),
∴QE=QF,
(2)(1)中的结论仍然成立,
证明:如图2,延长FQ交AE于D,
∵Q为AB中点,
∴AQ=BQ,
∵BF⊥CP,AE⊥CP,
∴BF∥AE,
∴∠QAD=∠FBQ,
在△FBQ和△DAQ中,
,
∴△FBQ≌△DAQ(ASA),
∴QF=QD,
∵AE⊥CP,
∴EQ是Rt△DEF斜边上的中线,
∴QE=QF=QD,
即QE=QF.
(3)(1)中的结论仍然成立,
证明:如图3,
延长EQ、FB交于D,
∵Q为AB中点,
∴AQ=BQ,
∵BF⊥CP,AE⊥CP,
∴BF∥AE,
∴∠1=∠D,
在△AQE和△BQD中,
,
∴△AQE≌△BQD(AAS),
∴QE=QD,
∵BF⊥CP,
∴FQ是Rt△DEF斜边DE上的中线,
∴QE=QF.

理由是:如图1,∵Q为AB中点,
∴AQ=BQ,
∵BF⊥CP,AE⊥CP,
∴∠BFQ=∠AEQ=90°,
在△BFQ和△AEQ中
|
∴△BFQ≌△AEQ(AAS),
∴QE=QF,
(2)(1)中的结论仍然成立,
证明:如图2,延长FQ交AE于D,
∵Q为AB中点,
∴AQ=BQ,

∵BF⊥CP,AE⊥CP,
∴BF∥AE,
∴∠QAD=∠FBQ,
在△FBQ和△DAQ中,
|
∴△FBQ≌△DAQ(ASA),
∴QF=QD,
∵AE⊥CP,
∴EQ是Rt△DEF斜边上的中线,
∴QE=QF=QD,
即QE=QF.
(3)(1)中的结论仍然成立,
证明:如图3,
延长EQ、FB交于D,

∵Q为AB中点,
∴AQ=BQ,
∵BF⊥CP,AE⊥CP,
∴BF∥AE,
∴∠1=∠D,
在△AQE和△BQD中,
|
∴△AQE≌△BQD(AAS),
∴QE=QD,
∵BF⊥CP,
∴FQ是Rt△DEF斜边DE上的中线,
∴QE=QF.
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