如图，在等边△ABC中，AB=2，点P是AB边上任意一点（点P可以与点A重合），过点P作PE⊥BC，垂足为E，过点E作EF⊥AC，垂足为F，过点F作FQ⊥AB，垂足为Q，求当BP的长等于多少时，点P与点Q重合？

Question

如图，在等边△ABC中，AB=2，点P是AB边上任意一点（点P可以与点A重合），过点P作PE⊥BC，垂足为E，过点E作EF⊥AC，垂足为F，过点F作FQ⊥AB，垂足为Q，求当BP的长等于多少时，点P与点Q重合？

Answer 1

设BP=x，在直角三角形PBE中，∠BPE=30°
∴BE=(1)/(2)x，
则EC=2-(1)/(2)x．
在直角△EFC中，∠FEC=30°，
∴FC=(1)/(2)EC=1-(1)/(4)x．
∴AF=2-FC=2-（1-(1)/(4)x）=1+(1)/(4)x．
同理：AQ=(1)/(2)AF=(1)/(2)+(1)/(8)x
当点P与点Q重合时，
BP+AQ=2
即x+（(1)/(2)+(1)/(8)x）=2
解得：x=(4)/(3)
故当BP=(4)/(3)时，点P与点Q重合．