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设方阵A满足(A+E)2=E,且B与A相似,证明:B2+2B=0.
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设方阵A满足(A+E)2=E,且B与A相似,证明:B2+2B=0.
▼优质解答
答案和解析
已知(A+E)²=E,B与A相似,求证:B²+2B=0.
证明:(A+E)²=A²+2A+E,所以有A²+2A=0.
B与A相似,所以存在可逆矩阵P使B=P^(-1)AP.
则B²=P^(-1)APP^(-1)AP=P^(−1)A²P.
于是B²+2B=P^(−1)(A²+2A)P=0.
证明:(A+E)²=A²+2A+E,所以有A²+2A=0.
B与A相似,所以存在可逆矩阵P使B=P^(-1)AP.
则B²=P^(-1)APP^(-1)AP=P^(−1)A²P.
于是B²+2B=P^(−1)(A²+2A)P=0.
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