（2001•江西）某电厂冷却塔的外形是如图所示双曲线的一部分绕其中轴（即双曲线的虚轴）旋转所成的曲面，其中A、A′是双曲线的顶点，C、C′是冷却塔上口直径的两个端点，B、B′是下底

Question

（2001•江西）某电厂冷却塔的外形是如图所示双曲线的一部分绕其中轴（即双曲线的虚轴）旋转所成的曲面，其中A、A′是双曲线的顶点，C、C′是冷却塔上口直径的两个端点，B、B′是下底直径的两个端点，已知AA′=14m，CC′=18m，BB′=22m，塔高20m．
（Ⅰ）建立坐标系并写出该双曲线方程；
（Ⅱ）求冷却塔的容积（精确到10m³，塔壁厚度不计，π取3.14）．

Answer 1

（I）如图建立直角坐标系xOy，AA′在x轴上，AA′的中点为坐标原点O，CC′与BB′平行于x轴．
设双曲线方程为(x2)/(a2)−(y2)/(b2)＝1(a＞0，b＞0)，则a＝(1)/(2)AA′＝7．
又设B（11，y₁），C（9，y₂），
因为点B、C在双曲线上，所以有(112)/(72)−(y21)/(b2)＝1，①(92)/(72)−(y22)/(b2)＝1，②
由题意知y₂-y₁=20．③
由①、②、③得y1＝−12，y2＝8，b＝7√(2)．
故双曲线方程为(x2)/(49)−(y2)/(98)＝1；
（II）由双曲线方程得x2＝(1)/(2)y2+49．
设冷却塔的容积为V（m³），则V＝π

∫

y2 y1

x2dy＝π

∫

8 −12

((1)/(2)y2+49)dy=π((1)/(6)y3+49y)

|

8 −12

，
∴V≈4.25×10³（m³）．
答：冷却塔的容积为4.25×10³（m³）．