已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左右顶点分别为A1,A2,右焦点为F(2,0),点P为双曲线上一点,向量PF*向量A1A2=0,向量PA1*向量PA2=4/3.求双曲线的方程；若双曲线上有两个不同的点M.N,点E(0,-1),当向量MN=f

Question

已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左右顶点分别为A1,A2,右焦点为F(2,0),点P为双曲线上一点,向量PF*向量A1A2=0,向量PA1*向量PA2=4/3.求双曲线的方程；若双曲线上有两个不同的点M.N,点E(0,-1),当向量MN=f(3,1),且|向量EM|=|向量EN|时,求三角形MON的面积,O为原点.

Answer 1

1）因为 PF*A1A2=0；所以PF垂直于x轴,设P在x轴上方
易得,A1（-a,0）；A2（a,0）；F（c,0）；P（c,b^2/a)其中c=2；
PA1*PA2=c^2-a^2+b^4/a^2=4/3;
解得 a^2=3,b^2=1;
方程为 x^2/3-y^2=1;
2)因为MN与向量（3,1)平行
可设直线MN:x-3y+m=0; 与双曲线联立得：
6y^2-6my+m^2-3=0
两根 y1+y2=m,
y1*y2=(m^2-3)/6;
设MN中点为Q(x0,y0);
有 y0=m/2;带入直线方程得：x0=m/2;
因为|EN|=|EM|,所以 EQ*（3,1）=0 （向量垂直）
解得m=-1/2;
MN：x-3y-1/2=0;
O到直线的距离为d=√10/20;
MN之间的距离由弦长公式|MN|=(5√10)/(2√3);
求得三角形MON面积为（5√3)/24;
希望没有算错