设曲线y=ax^2(x>=0,常数a>0)与曲线y=1-x^2交于点A,过坐标原点O和点A的直线设曲线y=ax^2(a>0,x>=0)与曲线y=1-x^2交于点A,过坐标原点o和A的直线与y=ax^2围成一平面,问:（1）该平面绕X轴旋转一周所称的旋转

Question

设曲线y=ax^2(x>=0,常数a>0)与曲线y=1-x^2交于点A,过坐标原点O和点A的直线
设曲线y=ax^2(a>0,x>=0)与曲线y=1-x^2交于点A,过坐标原点o和A的直线与y=ax^2围成一平面,问:（1）该平面绕X轴旋转一周所称的旋转体的体积V（2）a为何值时,V最大
最好写在纸上发图

Answer 1

先求A点坐标,联立两个方程解得A点坐标为（1/√（a+1）,a/（a+1））.积分区域为[0,1/√（a+1）].直线OA的方程为y=ax/√（a+1）,线段OA、x轴和直线x=1/√（a+1）所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体（就是一个圆锥）的体积为V1=1/3*π*a²/√（（a+1）²√（a+1））.y=ax²、x轴和直线x=1/√（a+1）所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积为V2=∫（0,1/√（a+1））πy²dx=π∫（0,1/√（a+1））a²x^4dx=1/5*πa²/（（a+1）²√（a+1））,V1-V2即为所求旋转体体积.故V=V1-V2=2/15*πa²/（（a+1）²√（a+1））,对V求导的V‘=πa（a+1）^(-7/2)（4/15-a/15）,令V’=0,解得a=4.所以当a=4时,V有最大值,最大值为32π/（375√5）.