已知点M（-1，0），N（1，0），曲线E上任意一点到M的距离均是到点N距离的3倍．（1）求曲线E的方程；（2）已知m≠0，设直线l1：x-my-1=0交曲线E于A，C两点，直线l2：mx+y-m=0交曲线E于B，D两点，C

Question

已知点M（-1，0），N（1，0），曲线E上任意一点到M的距离均是到点N距离的√(3)倍．
（1）求曲线E的方程；
（2）已知m≠0，设直线l₁：x-my-1=0交曲线E于A，C两点，直线l₂：mx+y-m=0交曲线E于B，D两点，C，D两点均在x轴下方，求四边形ABCD面积的最大值．

Answer 1

（1）设曲线E上任意一点坐标为（x，y），
由题意，√((x+1)2+y2)=√(3)•√((x-1)2+y2)，-----（2分）
整理得x²+y²-4x+1=0，即（x-2）²+y²=3为所求．--…（5分）
（2）由题意可知l₁⊥l₂，且两条直线均恒过点N（1，0）…（7分）
则四边形的面积：S=(1)/(2)AC•BD…（8分）
取AC的中点P，BD的中点Q，连结EP、EQ，
EP²=3-(1)/(4)AC²，EQ²=3-(1)/(4)BD²，
又可知四边形NPEQ为矩形，所以有EP²+EQ²=EN²=4
整理得：AC²+BD²=8…（10分）
故S=(1)/(2)AC•BD≤(1)/(2)•(AC2+BD2)/(2)=2      
当AC=BD，即m=1时，即面积最大值为2…（12分）