已知两定点A（-2，0）和B（2，0），动点P（x，y）在直线l：y=x+3移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为．

Question

已知两定点A（-2，0）和B（2，0），动点P（x，y）在直线l：y=x+3移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为___．

Answer 1

如图，设点A关于直线l：x-y+3=0的对称点为C，
连接BC交直线l于P₀，
根据平面几何知识可得：当动点P与点P₀重合时，
|PA|+|PB|取得最小值．
设C（m，n），则有

(n)/(m+2)=-1

(m-2)/(2)-(n)/(2)+3=0

，
解得m=-3，n=1．
即有C的坐标为（-3，1），
得|PA|+|PB|取得最小值为|CB|=√((-3-2)2+(1-0)2)=√(26)，
则椭圆长轴长的最小值为√(26)，
则椭圆的离心率e=(2c)/(2a)的最大值为(4)/(√(26))=(2√(26))/(13)．
故答案为：(2√(26))/(13)．