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F1和F2是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点P,使角F1PF2=120度,求椭圆离心率的范围
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F1和F2是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点P,使角F1PF2=120度,求椭圆离心率的范围
▼优质解答
答案和解析
令PF1=m,PF2=n,则由椭圆定义,m+n=2a
F1F2=2c
所以由余弦定理
4c^2=m^2+n^2-2mncos120=m^2+n^2+mn
=(m+n)^2-mn
=4a^2-mn
所以4a^2-4c^2=mn=√3/2
又椭圆离心率小于1
所以√3/2
F1F2=2c
所以由余弦定理
4c^2=m^2+n^2-2mncos120=m^2+n^2+mn
=(m+n)^2-mn
=4a^2-mn
所以4a^2-4c^2=mn=√3/2
又椭圆离心率小于1
所以√3/2
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