如果f(x)-f(-x)/x存在那么f(0)的导数存在如果limx趋近于0f(x)-f(-x)/x存在那么f(0)的导数存在我认为根据这个定义式2倍的f(0)存在那么一倍也存在但是不对为什么在x=0处连续

Question

如果f(x)-f(-x)/x存在 那么 f(0)的导数存在
如果limx趋近于0 f(x)-f(-x)/x存在 那么 f(0)的导数存在 我认为 根据这个定义式 2倍的f(0)存在 那么 一倍也存在 但是不对 为什么
在x=0处连续

Answer 1

不一定.
x→0时,
lim[f(x)-f(-x)]/x 存在,
不能说明 lim[f(x)-f(0)]/x和 lim[f(0)-f(x)]/x存在
反例（1）：如对于 f(x)=1/x,f(0)没有意义.从而当x=0时 ,导数不存在
反例（2）：即使f(0)有意义,lim[f(x)-f(0)]/x和 lim[f(0)-f(x)]/x也不一定存在.
如 f(x)=|x|,x→0时,lim[f(x)-f(-x)]/x =lim 0/x=0,存在,
但 [f(x)-f(0)]/x=|x|/x=1或-1,极限不存在.