已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）,⊙O：x2+y2=b2,点A,F分别是椭圆C的左顶点和左焦点,点P是⊙O上的动点．（1）若P（-1,3）,PA是⊙O的切线,求椭圆C的方程；（2）是否存在这样的椭圆C,使得PAPF是常数

Question

已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）,⊙O：x2+y2=b2,点A,F分别是椭圆C的左顶点和左焦点,点P是⊙O上的动点．
（1）若P（-1,
3
）,PA是⊙O的切线,求椭圆C的方程；
（2）是否存在这样的椭圆C,使得
PA
PF
是常数?如果存在,求C的离心率,如果不存在,说明理由．

Answer 1

（1）由点P（-1,3）,⊙O的半径为b,则b^2=(-1)^2+3^2=10
又PA是⊙O的切线,A（-a,0),PA垂直于OA
所以：a^2-b^2=(-1+a)^2+(3-0)^2 解得：a=10
因此所求椭圆的方程为x^2/100+y^2/10=1.
(2) 存在这样的椭圆C满足条件；
设⊙O上任意一点P（m,n),则n^2=b^2-m^2,
PA^2/PF^2=[(m+a)^2+n^2]/[(m+c)^2+n^2]
=(m^2+2ma+a^2+b^2-m^2)/(m^2+2mc+c^2+b^2-m^2)
=(2ma+a^2+b^2)/(2mc+c^2+b^2)
=(2am+2a^2-c^2)/(2cm+a^2)
由题意可知若PA/PF为常数存在,则可设PA^2/PF^2=K(K为大于0的常数）
则2am+2a^2-c^2=K(2cm+a^2),整理得：（2a-2cK)m+(2a^2-c^2-Ka^2)=0（*）
因为m是[-b,b]内任意实数 ,方程（*）恒成立
因此：2a-2cK=0且2a^2-c^2-Ka^2=0,从而消去K得c^3-2a^2c+a^3=0
(c^3-a^2c)+(a^3-a^2c)=0,得(a-c)(c^2+ac-a^2)=0
因为a不等于c,所以c^2+ac-a^2=0
解得：c/a=(1/2)[（根号下5）-1]
所以存在这样的椭圆C,其离心率为(1/2)[（根号下5）-1].