（2012•九江一模）设点E、F分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点E垂直于椭圆长轴的直线交椭圆于A、B两点，△ABF是正三角形．（1）求椭圆的离心率；（2）过定点D（-3，0）

Question

（2012•九江一模）设点E、F分别是椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点E垂直于椭圆长轴的直线交椭圆于A、B两点，△ABF是正三角形．
（1）求椭圆的离心率；
（2）过定点D（-√(3)，0）作直线l与椭圆C交于不同的两点P、Q，且满足

DP

＝2

QD

，O是坐标原点．当△OPQ的面积最大时，求椭圆的方程．

Answer 1

（1）设椭圆的半焦距为c，则 直线AB的方程为x=-c，将x=-c代入椭圆方程(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1，注意到c²=a²-b²，解得y=±(b2)/(a)，所以|AB|=(2b2)/(a)，|EF|=2c
∵△ABF是正三角形，∴(√(3))/(2)|AB|＝|EF|
∴(√(3))/(2)×(2b2)/(a)＝2c
∵e＝(c)/(a)，b²=a²-c²，
∴√(3)e²+2e-√(3)=0
∴e＝(√(3))/(3)或e＝−

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