高三数学题目已知直线(1+4k)x-(2-3k)y-(3+12k)=0(k为实数)所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点,且椭圆C上的点到点F的最小距离为2.（1）求椭圆的标准方程.（2）已知圆O：x^2+y^2=1,直线L：mx+ny=1.试

Question

高三数学题目
已知直线(1+4k)x-(2-3k)y-(3+12k)=0(k为实数)所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点,且椭圆C上的点到点 F的最小距离为2.
（1）求椭圆的标准方程.
（2）已知圆O：x^2+y^2=1 ,直线L：mx+ny=1.试证明：当点P(m,n)在椭圆C上运动时直线L与圆O相交：并求直线L被圆O所截得的弦长的取值范围.

Answer 1

(1).由题意得：直线过点（3,0）
所以椭圆C的一个焦点F为（3,0）
设椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1
又因为椭圆C上的点到点F的最大距离为8
所以a+c=8
又因为c=3
所以a=5 b=4
椭圆方程为x^2/25+y^2/16=1
(2).因为点P(m,n)在椭圆C上运动,
所以m^2/25+n^2/16=1
当n=0时,直线l为x=1/m
m=0.2
与圆有交点
当m=0时,同理
当m,n都不等于0时,
x^2+[(1-mx)/n]^2=1
b^2-4ac>=0
所以直线l与圆O恒相交
弦长范围[0,2]
(1).由题意得：直线(1+4k)x-(2-3k)y-(3+12k)=0
整理得：（x-2y-3）+k（4x+3y-12）=0
则直线过x-2y-3=0和4x+3y-12=0的交点F（3,0）
直线过点（3,0）
所以椭圆C的一个焦点F为（3,0）
设椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1
又因为椭圆C上的点到点F的最大距离为8
所以a+c=8
又因为c=3
所以a=5 b=4
椭圆方程为x^2/25+y^2/16=1
(2).由圆的中心（0,0）到直线mx+ny=1的距离d=1/根号（m^2+n^2）,
把P(m,n)代入x?/25+y?/16=1
得m?/25+n?/16=1,
则m?+n?>1,
所以d