在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx+m+4与y轴交于点A（0，3），与x轴交于点B，C（点B在点C左侧）．（1）求该抛物线的表达式及点B，C的坐标；（2）抛物线的对称轴与x轴交于点D，若直线y=

Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx²-2mx+m+4与y轴交于点A（0，3），与x轴交于点B，C（点B在点C左侧）．

（1）求该抛物线的表达式及点B，C的坐标；
（2）抛物线的对称轴与x轴交于点D，若直线y=kx+b经过点D和点E（-1，-2），求直线DE的表达式；
（3）在（2）的条件下，已知点P（t，0），过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点M，交直线DE于点N，若点M和点N中至少有一个点在x轴下方，直接写出t的取值范围．

Answer 1

（1）∵抛物线y=mx²-2mx+m+4与y轴交于点A（0，3），
∴m+4=3．
∴m=-1．
∴抛物线的表达式为y=-x²+2x+3．
∵抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于点B，C，
∴令y=0，即-x²+2x+3=0．
解得 x₁=-1，x₂=3．
又∵点B在点C左侧，
∴点B的坐标为（-1，0），点C的坐标为（3，0）；
（2）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴抛物线的对称轴为直线x=1．
∵抛物线的对称轴与x轴交于点D，
∴点D的坐标为（1，0）．
∵直线y=kx+b经过点D（1，0）和点E（-1，-2），
∴

k+b=0

-k+b=-2.

解得

k=1

b=-1.

∴直线DE的表达式为y=x-1；
（3）如图，当P点在D、B两点之间时，M、N都在x轴上方，

∴点M、N至少有一个点在x轴下方的t的范围为：t<1或t>3．