求解两个矩阵难题第一：设A为n阶实矩阵,且对于任意的x属于R^(n),有x^(T)Ax=0.那么A为零矩阵.对的话,请给出证明,不对给出反例.第二：能否给出满足如下条件的n阶实方阵A,B以及实向量x,yA^(T)A=B^(T

Question

求解两个矩阵难题
第一：
设A为n阶实矩阵,且对于任意的x属于R^(n),有x^(T)Ax=0.那么A为零矩阵.对的话,请给出证明,不对给出反例.
第二：
能否给出满足如下条件的n阶实方阵A,B以及实向量x,y
A^(T)A=B^(T)B
Ax=Ay
但是Bx不等于By
给出具体实例.

Answer 1

第一问,错
如A=[0,-1;1,0]
你可以设A=[a,b;c,d],则有ax1^2+(bx1+cx2)+dx2^2=0,所以举反例只需a=d=0,b=-c都可以
第二问,楼上的非常正确,它的本质就是从x,y向量中取出一个分量,这个分量相同,其它的不同,所以还有其它构造方法,如：
A=[0,0,1;0,0,0;0,0,0],B=[1,0,0;0,0,0;0,0,0],X=[1,2,3],Y=[1,3,5]
A=[0,1,0;0,0,0;0,0,0],B=[1,0,0;0,0,0;0,0,0],X,Y同上
等构造方法