已知双曲线x2a2−y2b2＝1(a＞0，b＞0)，若过右焦点F且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，2）B．(1，233)C．[2，+∞）D．[233，+∞)

Question

已知双曲线(x2)/(a2)−(y2)/(b2)＝1(a＞0，b＞0)，若过右焦点F且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（　　）

A．（1，2）
B．(1，(2)/(3)√(3))
C．[2，+∞）
D．[(2)/(3)√(3)，+∞)

Answer 1

要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，
即 (b)/(a)＜tan30°=(√(3))/(3)，即b＜(√(3))/(3)a
∵b=√(c2−a2)
∴√(c2−a2)＜(√(3))/(3)a，
整理得c＜(2√(3))/(3)a
∴e=(c)/(a)＜(2√(3))/(3)
∵双曲线中e＞1
故e的范围是（1，(2√(3))/(3)）
故选B．