解指数方程!0.8^x-C*0.6^x=1-C,其中C为常数.0.8**x-C*(0.6**x)=1-C如果0.8、0.6两个常数作适当调整，如调整为0.8、0.4：0.8**x-C*(0.4**x)=1-C,其中C为0~1之间的常数，是否能构造出一个有解析解的问题？怎么

Question

解指数方程!0.8^x-C*0.6^x=1-C,其中C为常数.
0.8**x-C*(0.6**x)=1-C
如果0.8、0.6两个常数作适当调整，如调整为0.8、0.4：0.8**x-C*(0.4**x)=1-C,其中C为0~1之间的常数，是否能构造出一个有解析解的问题？
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Answer 1

很明显,x=0时,原指数方程成立
如x≠0,则原指数方程可化为C=(1-0.8^x)/(1-0.6^x)
只要能证明C不是常数,则方程就只有一个解x=0
因为C为常数,则0=C'=(1-0.8^x)'/(1-0.6^x)-(1-0.8^x)(1-0.6^x)'/(1-0.6^x)^2
=[-0.8^xln0.8(1-0.6^x)+0.6^xln0.6(1-0.8^x)]/(1-0.6^x)^2
=[0.6^xln0.6-0.8^xln0.8+0.48^x(ln0.8-ln0.6)]/(1-0.6^x)^2
=0.48^x(0.8^xln0.6-ln0.6+ln0.8-0.6^xln0.8)/(1-0.6^x)^2
所以0.8^xln0.6-ln0.6=0.6^xln0.8-ln0.8
(0.8^x-1)ln0.6=(0.6^x-1)ln0.8
0.8^x-1=(0.6^x-1)(1n0.8/ln0.6)
(0.8^x-1)/(0.6^x-1)=ln0.8/ln0.6=C
因此如果原方程中的C是常数,则可求出C=ln0.8/ln0.6
这说明当C=ln0.8/ln0.6,原方程对于一切实数x来说都是成立的
所以原方程的解是一切实数