已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数,且f（x+2）=-f（x）.当0≤x≤1时,有f（x）=x（1）当-4≤x≤4时,求f（x）的图像与x轴围成的封闭图形的面积；（2）求函数f（x）的解析式及单调区间.

Question

已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数,且f（x+2）=-f（x）.当0≤x≤1时,有f（x）=x
（1）当-4≤x≤4时,求f（x）的图像与x轴围成的封闭图形的面积；
（2）求函数f（x）的解析式及单调区间.

Answer 1

f(-x)=-f(x)
f(x+2)=-f(x)=f(-x)
xE[01] f(x)=x
f(x+2)=-f(x) f(x+2)=-x =-(x+2)+2 x+2E[0+2,1+2] x+2E[2,3]
所以f(x)=-x+2 xE[2,3]
f(-x)=-f(x)
-f(x)=-x xE[0,1]
f(-x)=-f(x)=-x xE[0,1]
-xE[-1,0]
f(x)=x xE[-1,0]
-f(x)=f(x+2)=-x xE[-1,0]
f(x+2)=-(x+2)+2 x+2E[1,2]
f(x)=-x+2 xE[1,2]
-f(x)=f(x+2)=-(-x+2) xE[1,2]
f(x+2)=x-2=(x+2)-4 x+2E[3,4]
f(x)=x-4 xE[3,4]
于是：
f(x)=x xE[0,1]
f(x)=-x+2 xE[1,2]
f(x)=-x+2 xE[2,3]
f(x)=x-4 xE[3,4]
面积：自已算!
-f(x)=f(x+2)=f(-x)
f(-x-2)=f(x+4)
-f(x+4)=f(4-x)=f(x+6)
所以：f(x+4)=-f(x+6)=f(-x-6)
f(-x-2)=f(-x-6)
令：t=-x-6 -x-2=t+4
f(t)=f(t+4)
f(x)=f(x+4),周期是4
f（x）的解析式及单调区间.
f(x)=x xE[4k,4k+1] 增区间
f(x)=-x+2 xE[4k+1,4k+2] 减区间
f(x)=-x-2 xE[4k+2,4k+3]减区间
f(x)=x-4 xE[4k+3,4k+4] kEz 增区间