已知f（x）=ex-x2+b，曲线y=f（x）与直线y=ax+1相切于点（1，f（1））（I）求a，b的值；（Ⅱ）证明：当x>0时，[ex+（2-e）x-1]（3+cosx）-4xsinx>0．

Question

已知f（x）=e^x-x²+b，曲线y=f（x）与直线y=ax+1相切于点（1，f（1））
（I）求a，b的值；
（Ⅱ）证明：当x>0时，[e^x+（2-e）x-1]（3+cosx）-4xsinx>0．

Answer 1

（Ⅰ）f′（x）=e^x-2x．  
由题设得a=f′（1）=e-2，a+1=f（1）=e-1+b．
故a=e-2，b=0．  
（ II）由（Ⅰ）得，f（x）=e^x-x²，
下面证明：当x>0时，f（x）≥（e-2）x+1．
设g（x）=f（x）-（e-2）x-1，x>0．
则g′（x）=e^x-2x-（e-2），
设h（x）=g′（x），则h′（x）=e^x-2，
当x∈（0，ln2）时，h′（x）<0，h（x）单调递减，
当x∈（ln2，+∞）时，h′（x）>0，h（x）单调递增．
又h（0）=3-e>0，h（1）=0，0所以∃x₀∈（0，1），h（x₀）=0，
所以当x∈（0，x₀）或x∈（1，+∞）时，g′（x）>0；
当x∈（x₀，1）时，g′（x）<0，
故g（x）在（0，x₀）和（1，+∞）单调递增，在（x₀，1）单调递减，
又g（0）=g（1）=0，所以g（x）=e^x-x²-（e-2）x-1≥0．
因x>0，则(ex+(2-e)x-1)/(x)≥x（当且仅当x=1时等号成立）．①，
以下证明：当x>0时，x>(4sinx)/(3+cosx)．
令p（x）=x-(4sinx)/(3+cosx)，则p′（x）=1-(4(3cosx+1))/((3+cosx)2)=((cosx-1)(cosx-5))/((3+cosx)2)≥0，
（当且仅当x=2kπ，k∈Z时等号成立）．
所以p（x）在（0，+∞）单调递增，当x>0时，p（x）=x-(4sinx)/(3+cosx)>p（0）=0，
即x>(4sinx)/(3+cosx)．②
由①②得当x>0时，(ex+(2-e)x-1)/(x)>(4sinx)/(3+cosx)，
又x（3+cosx）>0，
故[e^x+（2-e）x-1]（3+cosx）-4xsinx>0．