早教吧作业答案频道 -->数学-->
已知函数f(x)(x∈R,且x>0),对于定义域内任意x、y恒有f(xy)=f(x)+f(y),并且x>1时,f(x)>0恒成立.(1)求f(1);(2)证明方程f(x)=0有且仅有一个实根;(3)若x∈[1,
题目详情
已知函数f(x)(x∈R,且x>0),对于定义域内任意x、y恒有f(xy)=f(x)+f(y),并且x>1时,f(x)>0恒成立.
(1)求f(1);
(2)证明方程f(x)=0有且仅有一个实根;
(3)若x∈[1,+∞)时,不等式f(
)>0恒成立,求实数a的取值范围.
(1)求f(1);
(2)证明方程f(x)=0有且仅有一个实根;
(3)若x∈[1,+∞)时,不等式f(
x2+2x+a |
x |
▼优质解答
答案和解析
(1)∵定义域内任意x、y恒有f(xy)=f(x)+f(y),
令x=y=1,
∴f(1)=2f(1),
∴f(1)=0;(2分)
证明:(2)任取0<x1<x2,则
>1,则题意得f(
)>0
又定义域内任意x、y恒有f(xy)=f(x)+f(y),∴f(xy)-f(y)=f(x),
∴f(x2)-f(x1)=f(
)>0
∴f(x2)>f(x1)
∴函数f(x)在其定义域内为增函数,由(1)和f(1)=0,
所以1为方程f(x)=0的一个实根,若还存在一个x0,且x0>0,使得f(x0)=0,
因为函数f(x)在其定义域内为增函数,必有x0=1,故方程f(x)=0有且仅有一个实根;(8分)
(3)由(2)知函数f(x)在其定义域内为增函数
当x∈[1,+∞)时,不等式f(
)>0=f(1)恒成立,即
>1恒成立
即x2+2x+a>x,即a>-x2-x在x∈[1,+∞)时恒成立
∵-x2-x在x∈[1,+∞)时最大值为-2
∴a>-2(14分)
令x=y=1,
∴f(1)=2f(1),
∴f(1)=0;(2分)
证明:(2)任取0<x1<x2,则
x2 |
x1 |
x2 |
x1 |
又定义域内任意x、y恒有f(xy)=f(x)+f(y),∴f(xy)-f(y)=f(x),
∴f(x2)-f(x1)=f(
x2 |
x1 |
∴f(x2)>f(x1)
∴函数f(x)在其定义域内为增函数,由(1)和f(1)=0,
所以1为方程f(x)=0的一个实根,若还存在一个x0,且x0>0,使得f(x0)=0,
因为函数f(x)在其定义域内为增函数,必有x0=1,故方程f(x)=0有且仅有一个实根;(8分)
(3)由(2)知函数f(x)在其定义域内为增函数
当x∈[1,+∞)时,不等式f(
x2+2x+a |
x |
x2+2x+a |
x |
即x2+2x+a>x,即a>-x2-x在x∈[1,+∞)时恒成立
∵-x2-x在x∈[1,+∞)时最大值为-2
∴a>-2(14分)
看了已知函数f(x)(x∈R,且x...的网友还看了以下:
(1),设g(x)=1+x,且当x≠0时,f(g(x))=(1-x)/x,求f(1/2)(2),f 2020-04-26 …
f(x)=log2(1+bx/1+x)(b不等于0)为奇函数 1,求函数的单调区间 2,解不等式f 2020-05-14 …
1.已知函数f(x)满足f(x)+2f(1/x)=2x-1,求f(x)2.设f(x)是定义在R上的 2020-05-23 …
已知关于X的方程(a+1)(b+1)/(x+1)+(a-1)(b-1)/(x-1)=2ab/x已知 2020-06-12 …
已知函数f(x)=ax3-3ax,g(x)=bx2+clnx,且g(x)在点(1,g(1))处的切 2020-06-16 …
已知函数y=f(x)的定义域[-1,1],且f(-x)=-f(x),f(1)=1,当a,b属于[- 2020-06-27 …
若正数xyz满足xyz=1,且1/x+1/y+1/z≥x+y+z,求证:1/x^k+1/y^k+1 2020-07-21 …
1.已知a*x^3=b*y^3=c*z^3且1/x+1/y+1/z=1求证(a*x^2+b*y^2+ 2020-10-31 …
高中数学抽象函数已知定义在(-1,1)上的函数f(x)满足f(1/2)=1,且对任意x,y∈(-1, 2020-12-08 …
已知正数x,y满足x+2y=1,求1/x+1/y的最小值有如下解法:因为x+2y=1且x>0,y>0 2020-12-31 …