若正数xyz满足xyz=1,且1/x+1/y+1/z≥x+y+z,求证：1/x^k+1/y^k+1/z^k≥x^k+y^k+z^k

Question

若正数x y z满足xyz=1,且1/x+1/y+1/z≥x+y+z,求证：1/x^k+1/y^k+1/z^k≥x^k+y^k+z^k

Answer 1

1/X+1/y+1/z=(x+y+z)/x+(x+y+z)/y+(x+y+z)/z
=1+(y+z)/x+1+(x+z)/y+1+(x+y)/z
=3+(y+z)/x+(x+z)/y+(x+y)/z
=3+y/x+z/x+x/y+z/y+x/z+y/z
=3+y/x+x/y+z/x+x/z+y/z+z/y
∵x,y,z为正实数xyz
∴y/x+x/y>=2 z/x+x/z>=2 y/z+z/y>=2
从而 1/X+1/y+1/z>=3=2+2+2=9
则 1/X+1/y+1/z>=9
∴1/X+1/y+1/z的最小值为9.