设函数f(x)=ax^2+bx+c(a>0)1,证明f(x)有两个零点2,设x1,x2是f(x)的两个零点,求|x1-x2|的范围3,求证f(x)的两个零点x1,x2至少有一个在区间(0.2)内f(1)=-a/2

Question

设函数f(x)=ax^2+bx+c (a>0)
1,证明f(x)有两个零点
2,设x1,x2是f(x)的两个零点,求|x1-x2|的范围
3,求证f(x)的两个零点x1,x2至少有一个在区间(0.2)内
f(1)=-a/2

Answer 1

解
1.因为f(1)=-a/2,所以a+b+c=-a/2,b=-3a/2-c
德尔塔=b^2-4ac=(-3a/2-c)^2-4ac=9a^2/4-ac+c^2=a(a-2c/3)^2+7c^2/9>0
所以证明f(x)有两个零点
2.
ax^2+bx+c=0,x1+x2=-b/a=(3a/2+c)/a=3/2+c/a,x1*x2=c/a
(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1*x2=(c/a)^2-c/a+9/4=(c/a-1/2)^2+2>=2
所以|x1-x2|>=根号2
3.
x1+x2=-b/a=(3a/2+c)/a=3/2+c/a,x1*x2=c/a
所以X1+x2=3/2+x1x2,(x1-1)(x2-1)=-1/2
x1,x2至少有一个在区间(0.2)内的否定是x1>=2,x2>=2,或x1<=0,x2<=0
假设x1>=2,x2>=2,x1-1>=1,x2-1>=1,(x1-1)(x2-1)>=1与(x1-1)(x2-1)=-1/2矛盾
假设x1<=0,x2<=0,x1-1<=-1,x2-1<=-1,(x1-1)(x2-1)>=1与(x1-1)(x2-1)=-1/2矛盾
所以x1>=2,x2>=2,或x1<=0,x2<=0不成立,
f(x)的两个零点x1,x2至少有一个在区间(0.2)内