已知函数f（x）=ax+1(x≤0)log2x(x>0)，若函数y=f[f（x）]+1有4个不同的零点，则实数a的取值范

Question

已知函数f（x）=

ax+1(x≤0)

log2x(x>0)

，若函数y=f[f（x）]+1有4个不同的零点，则实数a的取值范围是 ___．

Answer 1

函数y=f（f（x））+1的零点，
即方程f[f（x）]=-1的解个数，
（1）当a=0时，f（x）=

1(x≤0)

log2x(x>0)

，

当x>1时，x=√(2)，f（f（x））=-1成立，∴方程f[f（x）]=-1有1解
当0<x<1，log₂x<0，∴方程f[f（x）]=-1无解，
当x≤0时，f（x）=1，f（f（x））=0，∴f（f（x））=-1有1解，
故a=0不符合题意，
（2）当a>0时，

当x>1时，x=√(2)，f（f（x））=-1成立，
当0<x<1，log₂x<0，∴方程f[f（x）]=-1有1解，
当(1)/(a)<x≤0时，0<f（x）≤1，∴f（f（x））=-1有1解，
当x≤-(1)/(a)时，f（x）<0，∴f（f（x））=-1有1解，
故f（f（x））=-1有4解，
（3）当a<0时，

当x>1时，x=√(2)，f（f（x））=-1成立，∴f（f（x））=-1有1解，
当0<x≤1时，f（x）≤0．f（f（x））=-1，成立∴f（f（x））=-1有1解，
当x≤0时，f（x）≥1，f（f（x））=-1，成立∴f（f（x））=-1有1解，
故f（f（x））=-1有3解，
不符合题意，
综上；a>0
故答案为：（0，+∞）