设k∈R，函数f（x）=lnx-kx．（1）若k=2，求曲线y=f（x）在P（1，-2）处的切线方程；（2）若f（x）无零点，求实数k的取值范围；（3）若f（x）有两个相异零点x1，x2，求证：lnx1+lnx2>2．

Question

设k∈R，函数f（x）=lnx-kx．
（1）若k=2，求曲线y=f（x）在P（1，-2）处的切线方程；
（2）若f（x）无零点，求实数k的取值范围；
（3）若f（x）有两个相异零点x₁，x₂，求证：lnx₁+lnx₂>2．

Answer 1

（1）函数的定义域为（0，+∞），f′(x)=(1)/(x)-k=(1-kx)/(x)，
当k=2时，f'（1）=1-2=-1，则切线方程为y-（-2）=-（x-1），即x+y+1=0；
（2）①若k<0时，则f'（x）>0，f（x）是区间（0，+∞）上的增函数，
∵f（1）=-k>0，f（e^k）=k-ke^a=k（1-e^k）<0，
∴f（1）•f（e^k）<0，函数f（x）在区间（0，+∞）有唯一零点；
②若k=0，f（x）=lnx有唯一零点x=1；
③若k>0，令f'（x）=0，得x=(1)/(k)，
在区间(0，(1)/(k))上，f'（x）>0，函数f（x）是增函数；
在区间((1)/(k)，+∞)上，f'（x）<0，函数f（x）是减函数；
故在区间（0，+∞）上，f（x）的极大值为f((1)/(k))=ln(1)/(k)-1=-lnk-1，
由于f（x）无零点，须使f((1)/(k))=-lnk-1<0，解得k>(1)/(e)，
故所求实数k的取值范围是((1)/(e)，+∞)；
（3）证明：设f（x）的两个相异零点为x₁，x₂，设x₁>x₂>0，
∵f（x₁）=0，f（x₂）=0，∴lnx₁-kx₁=0，lnx₂-kx₂=0，
∴lnx₁-lnx₂=k（x₁-x₂），lnx₁+lnx₂=k（x₁+x₂），
∵x1x2>e2，故lnx₁+lnx₂>2，故k（x₁+x₂）>2，
即(lnx1-lnx2)/(x1-x2)>(2)/(x1+x2)，即ln(x1)/(x2)>(2(x1-x2))/(x1+x2)，
设t=(x1)/(x2)>1上式转化为lnt>(2(t-1))/(t+1)（t>1），
设g(t)=lnt-(2(t-1))/(t+1)，
∴g′(t)=((t-1)2)/(t(t+1)2)>0，
∴g（t）在（1，+∞）上单调递增，
∴g（t）>g（1）=0，∴lnt>(2(t-1))/(t+1)，
∴lnx₁+lnx₂>2．