阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（1+x）[1+x+x（x+1）]=（1+x）2（1+x）=（1+x）3（1）上述因式分解得方法是法，共应用了次，（2）若分解1+x+x（x+1

Question

阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（x+1）+x（x+1）²=（1+x）[1+x+x（x+1）]
=（1+x）²（1+x）=（1+x）³
（1）上述因式分解得方法是______法，共应用了______次，
（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）²+…+x（x+1）²⁰¹²，则需要应用上述方法______次，分解因式后的结果是______．（3）请用以上的方法分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）²+…+x（x+1）ⁿ，（其中n为正整数），必须有具体过程．
解：1+x+x（x+1）+x（x+1）²+…+x（x+1）ⁿ
=
<sup>2
23


220122n
2n</sup>

Answer 1

（1）由因式分解的过程可知，因式分解的方法是提取公因式法，提取了2次，
故答案为：提取公因式，2；

（2）（1）的算式最后一项（1+x）的次数为2，结果的次数为3，
故分解1+x+x（x+1）+x（x+1）²2+…+x（x+1）²⁰¹²2012，需要提公因式2012次，结果为（x+1）²⁰¹³2013，
故答案为：2012，（x+1）²⁰¹³2013；

（3）1+x+x（x+1）+x（x+1）²2+…+x（x+1）ⁿn=（1+x）[1+x+x（x+1）+x（x+1）²2+…+x（x+1）^n-1n-1]
=（1+x）²2[1+x+x（x+1）+x（x+1）²2+…+x（x+1）^n-2n-2]
=（1+x）ⁿ⁺¹n+1．