阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（1+x）[1+x+x（x+1）]=（1+x）2（1+x）=（1+x）3（1）上述分解因式的方法是，共应用了次．（2）若分解1+x+x（x+1）+

Question

阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（x+1）+x（x+1）²
=（1+x）[1+x+x（x+1）]
=（1+x）²（1+x）
=（1+x）³
（1）上述分解因式的方法是______，共应用了______次．
（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）²+…+x（x+1）²⁰⁰⁴，则需应用上述方法______次，结果是______．
（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）²+…+x（x+1）ⁿ（n为正整数）．

Answer 1

（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次．

（2）需应用上述方法2004次，结果是（1+x）²⁰⁰⁵．

（3）原式=（1+x）[1+x+x（x+1）]+x（x+1）³+…+x（x+1）ⁿ，
=（1+x）²（1+x）+x（x+1）³+…+x（x+1）ⁿ，
=（1+x）³+x（x+1）³+…+x（x+1）ⁿ，
=（x+1）ⁿ+x（x+1）ⁿ，
=（x+1）ⁿ⁺¹．