代数、数论1.设k,m,n为正整数,k=m^2+n^2/mn+1,证明k是平方数2.设k,m,n为正整数,k=m+1/n+n+1/m,证明k=3或4

Question

代数、数论
1.设 k,m,n为正整数,k=m^2+n^2/mn+1,证明k是平方数
2.设 k,m,n为正整数,k=m+1/n+n+1/m,证明k=3或4

Answer 1

我想了蛮久.觉得第一问是比较难的,当然我认为你忘记打括号了.
因为k是整数,那么n^/(mn)是整数,得出m|n.
这里只要取m=n=1,则k=3不是平方数.
如果不是,而是n^/(nm+1)
那么有(mn+1)|n^2,
又(mn+1,n)=1,当m,n都是正整数的时候.
这是不可能同时成立的.
所以原问题应该是(m^2+n^2)/(nm+1).
第二问比较简单只要证明1/m+1/n是整数即可.
如果n,m>2,1/m+1/n=n,
则t>=1:
k
=[(m^2+n^2)/(mn)]*[1/(1+1/(mn))]
=(t+1/t)*(1-1/(mn)+1/(mn)^2+.)
=t+1/t-(1/m^2+1/n^2)+[(m^2+n^2)/(nm)^3]*(1/(1+1/(mn)))
令s=1/t-(1/m^2+1/n^2)+[(m^2+n^2)/(nm)^3]*(1/(1+1/(mn))).
则k=t+s.
以下我们估计s.
s=1/t-(1/n^2+1/m^2)>=1/2-5/16>0
所以t